三角関数の公式は自分で導き出せるようにしよう その2
こんにちは。
だいすけです。
今回も前回に引き続き
三角関数の公式を
導き出していきます。
まず、前回のおさらいです。
前回は、
これらの公式の
上から2つを導き出しました。
前回の記事にもあるように、
公式を導き出せるようになることで、
公式を暗記する必要が無くなったり、
計算力が身に着いたり、
三角関数の考え方が身に付いたりなど、
さまざまなメリットがあります。
ぜひ、
今回の公式も
導き出せるようになりましょう。
では、今回は、
sin² (α / 2) = (1− cos α) / 2
と
cos² (α / 2) = (1+ cos α) / 2
を導き出していきます。
まず、
sin² (α / 2) = (1− cos α) / 2
を導き出すためには、
前回導き出した
cos 2θ = cos² θ − sin² θ
を使います。
ここで、
三角関数の相互関係
sin² θ + cos² θ = 1 より、
cos² θ = 1− sin² θ なので、
cos 2θ
= cos² θ − sin² θ
= (1− sin² θ) − sin² θ
= 1 − 2 sin² θ
です。
よって、
cos 2θ = 1 − 2 sin² θ
です。
これをさらに変形して、
2 sin² θ = 1 − cos 2θ
として、
両辺を2で割ると、
sin² θ = (1 − cos 2θ) / 2
となります。
ここに θ = α / 2 を代入すると
sin² (α / 2) = (1− cos α) / 2
となりましたね！
もうひとつの公式
cos² (α / 2) = (1+ cos α) / 2
も同じようにして
導き出すことができます！
まず、
前回導き出した公式
cos 2θ = cos² θ − sin² θ
と、
三角関数の相互関係
sin² θ + cos² θ = 1 より、
sin² θ = 1− cos² θ なので、
cos 2θ
= cos² θ − sin² θ
= cos² θ − (1 − cos² θ)
= 2 cos² θ − 1
です。
よって、
cos 2θ = 2 cos²θ − 1
です。
これをさらに変形して、
2 cos² θ = 1 + cos 2θ
として、
両辺を2で割ると、
cos² θ = (1 + cos 2θ) / 2
となります。
ここに θ = α / 2 を代入すると
cos² (α / 2) = (1+ cos α) / 2
となりましたね！
今回導き出した2つの公式は、
半角の公式と呼ばれています。
繰り返しになりますが、
三角関数の公式は、
覚えるよりも導き出せるように
なることが大切です。
今回の説明を見て、
必ず自力で公式を
導き出せるようになりましょう。
次回も引き続き
残りの公式を導き出します！
それではまた！
