微分の意味

こんにちは。

だいすけです。

今回は、

理系受験生なら

絶対に理解しておくべき

微分の意味を解説します。

まずは、微分の “定義” を見てみましょう。

微分の定義

ブラウザのバックボタンを

押すのはもう少し待ってください。笑

何がなんだかさっぱりだと思います。

順番にそれぞれの

文字や記号の意味を

解説していきます。

まず、分数の部分に注目しましょう。

分母 “ h ”、

分子 “ f(a+h) − f(a) ” の意味を

それぞれ見ていきます。

分母 “ h ” はズバリ、

“ xの増加量 ” です。

これは図で表すと、以下のようになります。

この図でいうところの、

点Pと点Aのx座標の差が

分母 “ h ” です！

次に、分子 “ f(a+h) − f(a) ” は、

“ yの増加量 ” です！

これも図で表すと、以下のようになります。

この図の点Pと点Aのy座標の差が

分子 “ f(a+h) − f(a) ” です！

では、この分数は

何を表しているのでしょう？？

それは、直線APの傾きです！

中学校のとき、

直線の傾きは変化の割合

つまり “ (yの増加量) / (xの増加量) ” で

表せるということを習ったと思います。

まさに、

この分数は、直線APの傾き

になっているんですね！

では、横の “ lim ” と

その下の “ h→0 ” というのは

どういう意味なのでしょうか。

実は、これは極限という

数学的な操作を表すもので、

“ hを限りなく0に近づける ”

という操作を表しています。

つまり、

右側の分数の中の

“ h ” の値を

限りなく0に近づけてくださいね

という意味なんです。

ここで、

hを限りなく0に近づけるとき、

ぴったり0にはならない

ということには注意してください。

0.1 → 0.01 → 0.001 → ...

のように、

どんどん0に近くけれど、

0にはならないように近づけます。

では、

この操作を先ほどの図で表すと

どうなるでしょうか。

hを0に近づけるということは、

xの増加量を0に近づける

ということと同じです。

つまり、

点Pを点Aに向けて

どんどん近づける

ということなのです。

これを図に表してみましょう。

特に、

直線APに注目しながら見てください。

↓

点PをAに向かって近づけます

↓

↓

さらに近づけます

↓

いかがですか？

下に行くにつれて、

点Pはどんどん点Aに近づいています。

そして、最後の図では、

点Pと点Aはほぼ同じ位置にあります。

では、

直線APはどう変化したでしょうか。

最初は曲線と2点で交わっていたのが、

最後の図だと、

ほとんど曲線に1点で

接しているように見えます。

つまり、直線APの傾きは、

hを0に近づけると、

点Aにおける接線の傾きに

近づいていくのです。

つまり、微分の定義の式は、

点Aにおける

接線の傾きを表しているのです！

微分が接線の傾きを表している、

ということは知っていても、

なぜ微分で接線の傾きを表せるのか

ということまでは

知らない人も多いと思います。

この解説を見て、

ぜひ微分の定義の意味を

理解してくださいね！

それではまた！