積分の記号 “∫ ” や “dx” の意味

こんにちは。

だいすけです。

今回は、

積分において使われる記号

  ∫ (インテグラル) や dx (ディーエックス) 

の意味を解説していきます。

まず、

定積分の意味を

復習しておきましょう。

上の図で、 ∫ [a,b] f(x) dx は

直線 x = a , x = b と

曲線 y = f(x) と

x軸で囲まれた部分の面積

を表すのでした。

では、

なぜ  ∫[a,b] f(x) dx が

この部分の面積を

表すのでしょうか。

まず、以下のように、

x軸上に、x = a から b まで、

等間隔に点を打っていきます。

そして、

打った点から、

y = f(x) のグラフに向かって、

x軸に垂直な線分を引きます。

さらに、

その線分と y = f(x) の交点から、

右に向かって、隣の線分まで、

その線分に垂直な線を引きます。

棒グラフのようなものができましたね。

この棒グラフの面積を考えてみましょう。

この棒グラフの幅は

均一になるようにしていました。

この幅を Δx (デルタエックス)

としておきましょう。

そして、

x座標が “ x ” の位置の

棒グラフの高さはどうなるかというと、

“ f(x) ” です。

よって、

x座標が “ x ” の位置の

棒グラフの面積は “ f(x) Δx ” です。

ここで、

棒グラフの横幅を

とても小さくしていくと...

棒グラフの面積の和は、

直線 x = a , x = b と 曲線 y = f(x) と

x軸で囲まれた部分の面積と

ほぼ一致します。

実は、

Δx をとても小さくしたものを

dx と書くことにしているのです。

なので、

f(x) dx を x = a から x = b まで

すべて足し合わせたものが

求める面積となります。

実は、“ ∫ [a,b] ” というのは、

この

“ x = a から x = b まで

すべて足し合わせる”

という操作を表しているのです。

 ∫ は S という文字が由来の記号です。

このSは英語で和を意味する

“ summation ” の頭文字です。

ですから、“ ∫ [a,b] f(x) dx ” は、

「 f(x) dx の面積の細い棒グラフを、

x = a から x = b まで足し合わせる」

という意味になります。

これはまさに

直線 x = a, x = b と

曲線 y = f(x) と x軸で

囲まれた部分の面積

ですね。

いかがでしたか？

積分の記号の意味が分かると、

「積分が面積を表す」

ということも

すんなりと理解できると思います！

この解説を参考に、

積分の意味を

しっかりと理解してくださいね！

それではまた！